By Garrett P.

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2. Das Einselement e ist eindeutig bestimmt. 3. a- 1a 4. h. Rechtsinverses ist auch Linksinverses. Fur aile a E Gist das inverse Element eindeutig bestimmt. 5. (ab)-1 = b- 1a- 1 6. (a- 1)-I=a Va, bEG. VaEG. = 7. ax b und ya = b haben eindeutige Losungen fur aile a, bEG! und zwar x=a- 1b, y=ba- 1 . 8. In G gilt die Kiirzungsregel ab = ac * b= c {= ba = ca . : Aus folgt durch Multiplikation mit (a- 1 )-1 von rechts die Behauptung a- 1a = a- 1ae = a- 1(a- 1)-1 Daraus folgt 1. vermoge ea Wiire e ein zweites =e .

4 Wenn h : G -+ H auch die Umkehrabbildung. ) Zum Beweis beachte, daB zwei beliebige Elemente von H nach Voraussetzung von der Form h(a),h(b) sind mit a,b E G. Dann ist aber h- 1 (h(a)h(b» = h- 1 (h(ab» = ab = h-lh(a)h-lh(b) . 0 Wenn h injektiv ist, so beschreibt h immerhin noch einen Isomorphismus zwischen G und der Bildgruppe h(G) ~ H . 5 Jede endliche Gruppe G der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn . 32 2 Gruppen Zum Beweis haben wir nach dem oben gesagten nur eine Einbettung von G in Sn zu konstruieren.

Dann ist ord x· = p ,und < x· > ist die gesuchte Untergruppe. 2 2 Gruppen Existenz von Sylowuntergruppen Der Satz von LAGRANGE, daB Ordnungen von Untergruppen stets Teiler der Gruppenordnung sind, wirft die Frage auf, ob es zu jedem Teiler von ord Gauch eine zugehorige Untergruppe gibt. Wir werden spater sehen, daB das fUr endliche abelsche Gruppen richtig ist, im allgemeinelJ aber falsch. 24 Sei G endliche Gruppe und p ein Primteiler von ord G. Dann existiert eine p-Sylowuntergrnppe von G . = Der Beweis wird durch Induktion iiber ord G gefiihrt: Fiir ord G p ist die Behauptung trivial.