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By Neal Koblitz, A.J. Menezes, Y.-H. Wu, R.J. Zuccherato

ISBN-10: 3540634460

ISBN-13: 9783540634461

This can be a textbook for a direction (or self-instruction) in cryptography with emphasis on algebraic tools. the 1st 1/2 the booklet is a self-contained casual advent to parts of algebra, quantity thought, and computing device technological know-how which are utilized in cryptography. lots of the fabric within the moment part - "hidden monomial" platforms, combinatorial-algebraic platforms, and hyperelliptic structures - has now not formerly seemed in monograph shape. The Appendix by way of Menezes, Wu, and Zuccherato supplies an user-friendly remedy of hyperelliptic curves. it really is meant for graduate scholars, complicated undergraduates, and scientists operating in numerous fields of knowledge defense.

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2. Das Einselement e ist eindeutig bestimmt. 3. a- 1a 4. h. Rechtsinverses ist auch Linksinverses. Fur aile a E Gist das inverse Element eindeutig bestimmt. 5. (ab)-1 = b- 1a- 1 6. (a- 1)-I=a Va, bEG. VaEG. = 7. ax b und ya = b haben eindeutige Losungen fur aile a, bEG! und zwar x=a- 1b, y=ba- 1 . 8. In G gilt die Kiirzungsregel ab = ac * b= c {= ba = ca . : Aus folgt durch Multiplikation mit (a- 1 )-1 von rechts die Behauptung a- 1a = a- 1ae = a- 1(a- 1)-1 Daraus folgt 1. vermoge ea Wiire e ein zweites =e .

4 Wenn h : G -+ H auch die Umkehrabbildung. ) Zum Beweis beachte, daB zwei beliebige Elemente von H nach Voraussetzung von der Form h(a),h(b) sind mit a,b E G. Dann ist aber h- 1 (h(a)h(b» = h- 1 (h(ab» = ab = h-lh(a)h-lh(b) . 0 Wenn h injektiv ist, so beschreibt h immerhin noch einen Isomorphismus zwischen G und der Bildgruppe h(G) ~ H . 5 Jede endliche Gruppe G der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn . 32 2 Gruppen Zum Beweis haben wir nach dem oben gesagten nur eine Einbettung von G in Sn zu konstruieren.

Dann ist ord x· = p ,und < x· > ist die gesuchte Untergruppe. 2 2 Gruppen Existenz von Sylowuntergruppen Der Satz von LAGRANGE, daB Ordnungen von Untergruppen stets Teiler der Gruppenordnung sind, wirft die Frage auf, ob es zu jedem Teiler von ord Gauch eine zugehorige Untergruppe gibt. Wir werden spater sehen, daB das fUr endliche abelsche Gruppen richtig ist, im allgemeinelJ aber falsch. 24 Sei G endliche Gruppe und p ein Primteiler von ord G. Dann existiert eine p-Sylowuntergrnppe von G . = Der Beweis wird durch Induktion iiber ord G gefiihrt: Fiir ord G p ist die Behauptung trivial.

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Algebraic Aspects of Cryptography: With an Appendix on Hyperelliptic Curves by Neal Koblitz, A.J. Menezes, Y.-H. Wu, R.J. Zuccherato

by Christopher

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