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By Bewersdorff J.

ISBN-10: 3834807761

ISBN-13: 9783834807762

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Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen 11 x 2 − 10 x + 40 = 0 , so dass man die folgenden beiden Zahlen erhält: 5 + − 15 und 5 − − 15 Obwohl die beiden gefundenen Werte kaum dem entsprachen, was man sich zu Zeiten Cardanos unter Zahlen vorstellte, „wagte“ Cardano die Rechnung (5 + − 15 )(5 − − 15 ) = 25 + 15 = 40 , womit er wohl zum ersten Mal mit etwas rechnete14, was wir heute komplexe Zahlen nennen. Mit Berechnungen, die unter Verwendung der üblichen Rechengesetze zu sinnvollen Endergebnissen führen, haben die Mathematiker nach Cardano zweifellos ihre entscheidende Motivation erhalten, Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zuzulassen – zunächst nur als Zwischenwerte, später auch als mathematische Objekte, für die sich zunehmend ein eigenständiges Interesse entwickelte.

Sowie das Paar der zueinander konjugierten Zahlen –1,87214... ± i·3,81014... Im mathematischen Sinn ist das erzielte Ergebnis trotzdem irgendwie beeindruckend. Wer hätte schon a priori vermutet, dass dritte Wurzeln in der Lösungsformel für eine Gleichung vierten Grades auftauchen? Richtig betrachtet ist diese Tatsache aber doch nicht so überraschend, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mag. So haben wir bereits bei kubischen Gleichungen eine vergleichbare Situation kennen gelernt: Ganz entsprechend so, wie die Cardanische Formel außer dritten Wurzeln auch Quadratwurzeln beinhaltet, so muss eine allgemeine Auflösungsformel für biquadratische Gleichungen angelegt sein.

Damit können wir die beiden komplexen Zahlen (0, 1) und (0, –1) wie angestrebt als Quadratwurzeln von –1 interpretieren. Der Zahl (0, 1) geben wir noch einen spezielle Bezeichnung, nämlich i = (0, 1), auch imaginäre Einheit genannt. Bei einer komplexen Zahl (a, b) heißt b der Imaginärteil. • Es gilt die Gleichung (a, b)(a, –b) = a2 + b2 , wobei (a, –b) die zur komplexen Zahl (a, b) konjugierte Zahl genannt wird, die mit ( a , b ) bezeichnet wird. Bei a 2 + b 2 spricht man vom Betrag der Zahl (a, b).

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by Kevin
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