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By Dr. B. L. van der Waerden (auth.), Dr. B. L. van der Waerden (eds.)

ISBN-10: 3662015137

ISBN-13: 9783662015131

ISBN-10: 3662015145

ISBN-13: 9783662015148

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Ot2..... 0) + ... + (0. O..... otn ) = 0Ct"t + ot2 u 2 an u". + ... + also ist auch 5. erfüllt. Die Vektoren (otl ..... otn ) bilden also in der Tat einen n-dimensionalen Vektorraum im Sinne unserer Definition. Um aus einem Vektorraum einen Ring zu machen. muß man noch eine Multiplikation für die Elemente u. v• ... erklären. Ist ffi kommutativ. so kann man folgendermaßen vorgehen: man verlangt außer dem Assoziativgesetz der Multiplikation und den beiden Distributivgesetzen noch die folgende Eigenschaft (4) (otu) v = u(otv) = ot(uv) für otE ffi.

Wir definieren nun die Summen und Produkte für die unersetzten und ersetzten Elemente so, daß sie genau den Summen und Produkten in 6' entsprechen. (Ist z. B. ) In der Weise entsteht aus @;' ein Ring @; - @;', der in der Tat m umfaßt. x m. m. § 16. Quotientenbildung. 49 § 16. Quotientenbildung. Ist ein kommutativer Ring ffi in einen Schiefkörper Q eingebettet, so kann man in Q aus den Elementen von ffi Quotienten : = a b~1 = b~1 a (b =1= 0) bilden 1. Für sie gelten die folgenden Rechnungsregeln : a c b =d dann und nur dann, Wenn ad = bc; ~+~= ad+bc b d bd a c ac (1) b'([= bd' Zum Beweise überlege man sich, daß beide Seiten jedesmal nach Multiplikation mit b d dasselbe ergeben und daß aus b d x = b d Y folgt x = y.

Wie bei Gruppen zeigt man weiter, daß aus c) und d) umgekehrt b) folgt. Aufgabe. 8. Man führe den Beweis durch. Ein Schiefkörper hat keine Nullteiler; denn aus ab = 0, a =1= 0 folgt durch Multiplikation mit a- 1 sofort b = o. Die Gleichungen (3) sind eindeutig lösbar; denn aus der Existenz zweier Lösungen x, x' etwa der ersten Gleichung würde folgen a x = a x', also durch Multiplikation mit a- 1 von links: x=x'. Die Lösungen von (3) lauten natürlich: x = a- 1 b, y=ba-1 • Im kommutativen Fall wird a- 1 b = ba-1 ; man schreibt dafür auch!!....

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Algebra by Dr. B. L. van der Waerden (auth.), Dr. B. L. van der Waerden (eds.)


by Paul
4.0

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